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Posts da categoria ‘Matemática’

Estudo de Elementos Finitos v0.95

1/4 de Placa com FuroApós um longo período de inação no campo da Matemática, volto-me, timidamente, para este meu lado rigoroso, cuja ação contempla menos o conteúdo que a forma: uma equação precisa ser bonita antes de ser correta e útil. Desse exercício, resultou a versão 0.95 do meu Estudo de Elementos Finitos.

O Porvir

faltam4diasSegundo a tabela de mortalidade do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) divulgada em 2012, o homem brasileiro com a idade de quarenta anos em 2010 viverá, em média, até os 75,1 anos e aquele com os mesmos quarenta em 2011 viverá até os 75,3. Fazendo-se um extrapolação linear desse crescimento, uma vez que o IBGE ainda não divulgou os dados do ano passado, o homem de quarenta em 2012 viverá 75,5 anos. Atualmente, isso significa que um ser humano do sexo masculino, nascido no Brasil em 1972, desfrutando, na sua plenitude, da complicada idade do lobo, tem pela frente 45,6% de sua vida. Portanto, esses primatas, dotados de sofisticado raciocínio lógico e de um polegar opositor, já usufruíram mais da metade de sua história no planeta Terra. Ao subconjunto deles, composto por amantes da Literatura, do qual faço parte integrante, restam-lhe menos de 34,5 anos de leitura, uma vez que nem mesmo o leitor mais desocupado consegue ler ininterruptamente. Consideremos que esses tais aficionados lerão, em média, três horas por dia durante trinta anos. Há, portanto, uma janela de tempo de 4 anos para leitura ininterrupta. Em um romance, há em média 120.000 palavras. Assim, esses ávidos leitores, hoje quarentões, lendo uma média de 170 palavras por minuto, consumirão, até se tornarem setuagenários, por volta de 3.000 romances. Caso haja, dentre os indivíduos citados, alguns deles cujas quantidades de títulos ainda por ler em suas bibliotecas particulares já tenham ultrapassado o correspondente à esse número, eles precisarão começar a fazer escolhas cruéis, ou então se fiar na teoria de vidas futuras que reencarnam: interessante perspectiva que ensejaria a prática da leitura por um mesmo espírito – é apenas através dele que se absorve Literatura – até o fim dos tempos. Embora altamente impreciso, o resultado de toda essa aritmética tranquilizou-me sobremaneira, pois, sendo um cético contumaz à teimosa reincidência da alma à vida terrestre, constatei satisfeito que, nas condições da previsão do IBGE, terei tempo de sobra para apreciar minha humilde biblioteca no seu volume atual e também continuar adquirindo compulsivamente mais livros, com a possibilidade real de conseguir lê-los. Alguns diriam que essa minha tranquilidade diante de tão débeis suposições é descabida, sendo fruto de arrogância, de prepotência, uma vez que o futuro e a onipotência à Deus pertencem. Os religiosos mais extremistas diriam que é pecado venial porque tal sensação de segurança, embora inconsciente, é como querer se igualar ao Todo-Poderoso; cogitariam a hipótese de que eu, imerso nessa autoconfiança profana, poderia ser acometido por uma síncope letal a qualquer momento, até mesmo durante minhas leituras. Sou obrigado a concordar, em certa medida, com a ideia do pedantismo; talvez seja isto mesmo: lá no fundo de minha mente perturbada, agrada-me a ilusão de ser o dono do meu futuro. À superfície, tenho plena consciência de que o porvir é praticamente incontrolável; digo “praticamente” porque há algumas certezas: na hipótese da tal síncope durante a leitura, por exemplo, é absolutamente certo que eu não estaria segurando um livro do “blue eyes” Chico Buarque de Hollanda – “escritor” que precisa estar em Paris para se inspirar -, nem do imortal Paulo Coelho – considerado persona non grata à feira literária de Frankfurt 2013 – e de outros congêneres.

Estudo de Elementos Finitos v0.85

1/4 de Placa com FuroNas minhas aventuras matemáticas, há uns raros momentos ao longo dos quais meus níveis de desgaste e impaciência ficam relativamente baixos. Foi assim que se deu o processo que resultou na versão 0.85 do meu Estudo de Elementos Finitos.

Estudo de Elementos Finitos v0.52

1/4 de Placa com FuroPraticar Matemática para mim é algo tão prazeroso quanto desgastante. Encaro cada novo escrito como uma disputa interna, na qual o inimigo se esconde sorrateiro. Não foi diferente o processo que resultou na versão 0.52 do meu Estudo de Elementos Finitos.

Estudo de Elementos Finitos v0.11

1/4 de Placa com FuroApós alienar-me do mundo durante alguns dias, agrilhoado à ideia obsessiva de aprimorar adequadamente o enfoque do meu Estudo de Elementos Finitos,  apresento sua versão 0.11.

Estudo de Elementos Finitos v0.00

1/4 de Placa com FuroComo já havia adiantado no post Ingratidão, disponibilizo o meu Estudo de Elementos Finitos em sua versão inicial. Para ele, criei mais uma entrada no menu “Trabalhos”, submenu “Matemática”. Gostaria muito que os interessados criticassem.

Ingratidão

B-52

Ao terminar um curso de verão em Seattle, promovido pela Unidade de Dinâmica Estrutural (UDE) da Boeing, o aluno Ray William Clough estava bastante decepcionado: o modelo matemático que concebera para o problema que lhe foi proposto apresentou resultados desanimadores quando comparados com os dados experimentais. Tratava-se das propriedades vibratórias de asas do tipo delta (foto), simuladas em laboratório como barras engastadas, anguladas a 45 graus. Ele havia representado esse tipo especial de asa como uma estrutura treliçada, estratégia adotada para a análise aeroelástica de asas convencionais. Talvez um fracasso não fosse sua expectativa para o término curso, ao qual fora assistir para se inteirar das últimas novidades do cálculo estrutural na indústria da aviação. O programa das aulas incluía basicamente as técnicas de análise estrutural mais avançadas, utilizadas na Boeing, para o projeto de componentes aeronáuticos: asas, especificamente. O autor de tais técnicas,  engenheiro-chefe da UDE e professor do curso Jonathan Turner, propunha a cada um dos alunos um problema real da Boeing para que fosse desenvolvido, a partir do conteúdo teórico do curso. Como eram desconhecidas da comunidade acadêmica da época, as eficientes ideias de Turner atraíram a atenção de alguns pesquisadores, que se matriculavam no curso, ministrado todo o verão. Assim, no verão do ano de 1952, estava lá o desanimado Ray Clough, professor novato de Engenharia Civil da Universidade da California em Berkeley. Diante do fracasso da solução que arduamente concebera, Clough deu-se por vencido e, ao despedir-se de Turner, ficou patente para o mestre o desapontamento do aluno. O Engenheiro sugeriu ao acadêmico que retornasse no verão seguinte para continuar o trabalho; ideia que foi aceita de imediato. Ao retomar os trabalhos no verão de 1953, Clough recebeu a seguinte sugestão de Turner: “Ao invés de utilizar uma treliça bidimensional, montada com barras, modele a estrutura com placas, interconectando-as pelos seus vértices.” A partir dessa ideia, Clough estudou placas – que passou a denominar elementos – de formato triangular e retangular. O modelo mostrou-se muito mais simples com elementos triangulares do que com os retangulares e os resultados obtidos foram excelentes. O professor de Berkeley percebeu também que a diminuição do tamanho das placas, que promovia o aumento do número de elementos, tornava os resultados do modelo mais próximos dos valores experimentais. Assim, com a técnica apreendida e bem sucedida, Clough e outro célebres alunos de Turner, disseminaram a ideia no meio acadêmico, que lhe deu a devida a atenção somente dez anos mais tarde. Batizada por Clough de Método dos Elementos Finitos, a técnica de Jonathan Turner ganhou notoriedade e aplicação generalizada, a um ponto tal que os matemáticos, eternos adoradores do abstrato, se interessaram, construindo todo uma teoria a partir dela. Com o tempo, o FEM (Finite Element Method) ganhou fundamentos algébricos complexos, quando lhe arranjaram outros pais: alguns deles, verdadeiros padrastos. Em meus estudos, fui vítima de um desses últimos e, apenas recentemente, descobri em quem posso confiar. Tomei gosto justamente pela teoria matemática do Método – filha ingrata e desnaturada do seu verdadeiro genitor – cujo formato sofisticado é simplesmente maravilhoso, para o qual dedicarei, em breve, uma nota anunciando novo estudo.

Estudo de Equações Diferenciais v0.11

Atrator de LorenzDisponibilizei a versão 0.11 do meu
Estudo de Equações Diferenciais.

Atrator

Em janeiro de 1963, o matemático e meteorologista norte-americano Edward Lorenz publicou o artigo Deterministic Non Peridodic Flow, no qual propôs o seguinte sistema de equações para modelar a convecção do ar numa célula atmosférica:

x'=\sigma(y-x)
y'=x(\rho-z)-y\,\,\,,
z'=xy-\beta z

onde as incógnitas x,y,z são funções do tempo e descrevem o estado do sistema. As constantes \sigma,\rho,\beta são parâmetros físicos e foram especificados com os valores 10, 8/3 e 28, respectivamente. Lorenz esperava que o sistema “caminhasse” para uma das três situações de convecção estável conhecidas, dentro do contexto do problema. Uma vez atingida tal situação, o sistema apresentaria os mesmos valores de x,y,z indefinidamente. Entretanto, ele observou que, nessas condições, ao perturbar o sistema a partir de um dos pontos de convecção estável, as soluções encontradas para os sucessivos instantes de tempo não convergem para nenhuma das outras situações estáveis. As soluções se comportam como se estivessem “indecisas”: os valores orbitam na vizinhança de um dos pontos de estabilidade e então mudam repentinamente de trajetória em direção ao outro ponto, repetindo essas oscilações e saltos de uma maneira irregular, não-periódica, imprevisível. Par causa desse comportamento, Lorenz chega a concluir que previsões meteorológicas suficientemente antecipadas são impossíveis. Em termos matemáticos, o modelo de Lorenz é um sistema de equações diferenciais; tópico de uma disciplina que eu já havia cursado na faculdade. Anos mais tarde, precisei utilizá-la para fins mais relevantes do que simplesmente conseguir o mínimo para aprovação nas provas e durante a fase de recordação dos assuntos, comecei a esboçar um resumo, a fim de registrar o estudo. Por alguma razão que não me recordo, eu o interrompi, mas  com o advento do Extrato, ocorreu-me retomá-lo e também outros trabalhos iniciados que ficaram esquecidos. Primeiramente, publico para download esse Estudo de Equações Diferenciais, ainda em estágio inicial, para o qual dedico uma página específica, ilustrada pelo bonito gráfico das soluções do modelo de Lorenz no seu estado instável, conhecido como Atrator de Lorenz.

Cuca

Uma vez sedimentados os tópico iniciais do Cálculo Diferencial e Integral, devidamente avaliados por  três provas ao longo do primeiro semestre, acreditava-se que estivéssemos aptos a cursar a famigerada disciplina Cálculo II, motivo de terrorismo dos colegas mais antigos, alguns deles agonizando a sua terceira reprovação. O novo curso apresentaria o domínio do Cálculo com mais dimensões: da reta passaríamos ao plano e depois ao cubo. Haviam três turmas e uma delas, a nossa, estava sob responsabilidade de uma professora, recém-chegada do seu longo curso de doutorado. À princípio, julgamo-nos afortunados, já que os trejeitos da doutora, franzina e quase delicada, não nos provocara maiores temores. Lembro-me de alguém dizer: “Vai ser moleza!”. Naquela época, ainda éramos moleques que apelidavam os outros: entre nós, passamos a chamar a doutora pela alcunha de Cuca, personagem célebre do preconceituoso Monteiro Lobato no seu Sítio do Picapau Amarelo. O formato e a tintura capilares daquela que achávamos inofensiva lembravam quase que imediatamente a horrenda figura do seriado da Rede Globo. O problema de se criar uma expectativa positiva e acreditar piamente nela é que o destino raramente a confirma, rejeitando-a parcial ou totalmente. Quis o nosso destino optar pela rejeição total e a Cuca, de vítima de nosso escárnio, transformou-se em bruxa sádica, comedora de criancinhas. Aquela mulher frágil adquiriu, como o Cálculo, outras dimensões. Para não sermos devorados, tivemos que nos privar ainda mais do sono para então suar sangue nas derivadas parciais, nas integrais duplas, triplas, de superfície, no Teorema de Green, etc… Ao final do curso, aprovado e pensativo, tive vontade de transcrever o soneto abaixo, na página em branco anterior a contracapa do livro texto O Cálculo com Geometria Analítica Vol. II, de Louis Leithold.

Soneto XXXII

Quando a chuva cessava e um vento fino
franzia a tarde tímida e lavada,
eu saía a brincar, pela calçada,
nos meus tempos felizes de menino.

Fazia, de papel, toda uma armada;
e, estendendo meu braço pequenino,
eu soltava os barquinhos, sem destino,
ao longo das sarjetas, na enxurrada…

Fiquei moço. E hoje sei, pensando neles,
que não são barcos de ouro os meus ideais:
são feitos de papel, são como aqueles,
perfeitamente, exatamente iguais…

– Que os meus barquinhos, lá se foram eles!
Foram-se embora e não voltaram mais!
 

Guilherme de Almeida (Nós, 1917)

Função

Aprendi  o conceito de função na antiga e saudosa oitava série. A professora de matemática desenhou dois conjuntos, relacionou os elementos de um com os elementos do outro por meio de setas e disse: “Estão vendo essas setas? Isso é uma função”. Todo o meu ensino superior de engenharia não corrigiu esse fundamento desvirtuado,  apenas o varreu para debaixo do tapete: lecionar conceitos atrapalha o pragmatismo de um curso tecnológico. Há alguns anos, quando folheava as primeiras páginas do livro Non Linear Problems of Elasticity, de Stuart Antman, percebi a falha em meu conceito. Resolvi, então, investigar o que é de fato uma função e descobri que não se trata de uma seta, mas que é um par: um conjunto e uma regra. Considerando que D é um conjunto e f uma regra, então o parzinho (D,f) é uma função se para qualquer elemento d de D existir o valor f(d). Enfatizando um pouco mais a forma do conceito, (D,f) é chamado função quando

d\mapsto f(d)\,,\, \forall d\in D\,.

A regra f nada mais é do que a especificação de como serão associados valores aos elementos do conjunto D, chamado domínio da função. Por exemplo, se tal especificação for quadrática, dado o domínio \mathbb{R} dos reais, então a descrição de f é

  f(x)=ax^2+bx+c\,,\, a\neq 0\,,

onde a,b,c \in \mathbb{R} e x, denominada variável ou argumento da regra, é um símbolo que representa um elemento do domínio; no caso, um número real. Tivesse eu essa breve informação, algo simples até para alguém que considera Matemática um obstáculo a ser transposto, não teria me assustado com as explicações do eminente professor Antman.

Cosseno

Voltando a falar de forma e conteúdo, não consigo enxergar o significado da expressão à esquerda antes da sua beleza estética. A forma da linguagem vem primeiro, depois seu conteúdo: a soma dos infinitos valores da função cosseno avalidada entre 0 e π/2. Mais interessante do que uma soma com infinitos termos resultar o valor finito 1 é a maneira pela qual ela é expressa. Matemática é antes forma e depois conteúdo.